Silnia liczby naturalnejn – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż [1]. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.
Zastosowania
Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ) przez geometrię -wymiarową (np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa ).
n = 1 n! = 1
n = 2 n! = 2
n = 3 n! = 6
n = 4 n! = 24
n = 5 n! = 120
n = 6 n! = 720
n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow
Przybliżona wartość
Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:
Wynika z niego także postać logarytmu silni:
Przydatne jest również oszacowanie:
Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:
gdzie:
Właściwości
Wzrost
Wzrost funkcji silni jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej(inne języki)[3]. Tempo wzrostu jest podobne do ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.
Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym przy czym jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru
gdzie musi spełniać warunek
Na przykład: 53 > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się
zerami.
Jeżeli nierówności są spełnione przez w tym wypadku suma ta daje wynik 0.
Powiązane funkcje i sekwencje
Factorion
Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[4].
Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.
Silnia wielokrotna
Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną oraz ogólnie silnie -tą, którą oznaczamy jako Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:
Silnia podwójna
Silnią podwójną liczby naturalnej określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do Silnię podwójną oznacza się
↑Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0.
↑Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
↑Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W., Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25](ang.).
Bibliografia
Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.
Linki zewnętrzne
Zobacz hasłosilnia w Wikisłowniku
Zobacz publikację tabelę początkowych wartości silni w Wikibooks
Zobacz publikację kod źródłowy programu obliczającego silnię w Wikibooks
Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12](ang.).
How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022(ang.).