Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji.
Uwagi: a) Jak Eudoksos zdefiniował liczby rzeczywiste, nie mając definicji liczb naturalnych? Naiwnie, intuicyjnie: przez długi czas posiłkowano się pojęciem pochodnej i granicy bez ich ścisłej definicji, b) Użyte pojęcia i sformułowania wymagają poprawy językowej, 1/5 artykułu na temat oznaczeń.... Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Liczby naturalne – podstawowy typ liczb, rozumiany dwojako[1][2]:
w sensie węższym są to moce niepustych zbiorów skończonych: 1, 2, 3...
Liczby te opisują liczności i kolejności, przez co odpowiadają liczebnikom głównym i porządkowym. Dodatnie liczby naturalne są używane przez ludzi od prehistorii i częściowo też przez inne gatunki zwierząt[3], a do ich zapisu wprowadzono cyfry. Czasy historyczne przyniosły dalszy rozwój matematyki, w tym rozumienia liczb naturalnych:
Oprócz symbolu stosuje się też inne, bardziej jednoznaczne[14]:
bez zera:
z zerem:
Definicje
Postulaty Peana
Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peana), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:
0 jest liczbą naturalną,
Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany
0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
Różne liczby naturalne mają różne następniki:
Jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).
Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.
Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peana zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peana nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie itd., ani też nie wspominają uporządkowania (relacji ). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: ).
Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:
To wystarczy do wyliczenia sumy liczb, np. obliczając (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:
bo 2 jest następnikiem 1,
z definicji,
następnik 2 oznaczamy symbolem 3,
1 jest następnikiem 0,
z definicji,
następnik 3 oznaczamy symbolem 4.
Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:
W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia byłby zastąpiony przez warunek:
Powyższe postulaty mówią, jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peana, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).
Konstrukcja Fregego-Russella
Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella[15], definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.
Model von Neumanna
Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez węgierskiego matematyka Johna von Neumanna – nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:
Niech Przecięcie jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:
rzeczywiście, niech – zbiór induktywny. To też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w a więc zawierającym a więc równym – co kończy dowód.
Korzystając z induktywności
– oznaczamy jako 0,
– oznaczamy jako 1,
– oznaczamy jako 2
i tak dalej.
Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peana.
Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. itd.
Niektóre pary liczb naturalnych można też odejmować i dzielić, jednak wynik może nie być liczbą naturalną. Przez to mówi się, że działania te nie są wewnętrzne w tym zbiorze lub że nie jest on na nie zamknięty – nie są to działania na liczbach naturalnych w sensie algebry abstrakcyjnej[20][21].
Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.
Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.
Zero
Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu „pustego miejsca”. Już w VII w. p.n.e.Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.
W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.
Rola filozoficzna
W filozofii matematyki najpóźniej w XIX wieku powstała doktryna finityzmu, według której są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka[potrzebny przypis]. Słynne jest stwierdzenie Leopolda Kroneckera, propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka[potrzebny przypis].
Uogólnienia
Wśród liczb całkowitych można wyróżnić podzbiórizomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych. Innymi słowy istnieje podzbiór – z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia – spełniający aksjomaty Peana. To samo dotyczy dalszych uogólnień liczb całkowitych.
↑zerowa potęga zera czasem jest definiowana jako 1, a czasem uznawana za symbol nieoznaczony; w tym drugim wypadku potęgowanie nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb naturalnych.
↑liczba naturalna [w:] Słownik języka polskiego [online], PWN [dostęp 2024-03-25].
↑Karolina Głowacka i Mateusz Hohol, Umysł matematyczny: dlaczego ludzie potrafią całkować, a szympansy nie?, kanał „Radio Naukowe” na YouTube, 21 października 2021 [dostęp 2024-03-25].
↑Liczby naturalne na osi liczbowej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-03-25].
↑Wojciech Babiański, Lech Chańko i Karolina Wej, Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum, Wydawnictwo Nowa Era, Warszawa 2022, ISBN 978-83-267-3486-1, s. 10.
↑Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics – autor oznacza tam zbiór dodatnich liczb całkowitych przez P, od angielskiego positive, a nieujemnych – przez N.
↑Russell ogłosił ją w swojej Principia Mathematica.
↑ abLattice(ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
↑ abSemi-ring(ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
↑ Leszek Pieniążek, Algebra liniowa z geometrią 1. 2.3 Grupy i ciała, Uniwersytet Jagielloński, im.uj.edu.pl, 13 stycznia 2020 [dostęp 2024-03-25].
↑ Paweł Lubowiecki, 16. Struktury algebraiczne cz. I Działanie wewnętrzne i zewnętrzne oraz grupa, kanał Wojskowej Akademii Technicznej (UczelniaWAT) na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-03-26].