Funkcja φ (Eulera) lub tocjent – funkcja przypisująca każdej liczbie naturalnej liczbę liczb względnie pierwszych z nią i nie większych od niej[1]. Nazwa pochodzi od nazwiska Leonharda Eulera[a][2][3][4][5].
Kilka początkowych wartości funkcji
+
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10
|
0
|
1 |
1 |
2 |
2 |
4 |
2 |
6 |
4 |
6 |
4
|
10
|
10 |
4 |
12 |
6 |
8 |
8 |
16 |
6 |
18 |
8
|
20
|
12 |
10 |
22 |
8 |
20 |
12 |
18 |
12 |
28 |
8
|
30
|
30 |
16 |
20 |
16 |
24 |
12 |
36 |
18 |
24 |
16
|
40
|
40 |
12 |
42 |
20 |
24 |
22 |
46 |
16 |
42 |
20
|
50
|
32 |
24 |
52 |
18 |
40 |
24 |
36 |
28 |
58 |
16
|
60
|
60 |
30 |
36 |
32 |
48 |
20 |
66 |
32 |
44 |
24
|
70
|
70 |
24 |
72 |
36 |
40 |
36 |
60 |
24 |
78 |
32
|
80
|
54 |
40 |
82 |
24 |
64 |
42 |
56 |
40 |
88 |
24
|
90
|
72 |
44 |
60 |
46 |
72 |
32 |
96 |
42 |
60 |
40
|
Funkcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istotne zastosowania w kryptografii w badaniach nad złożonością szyfrów.
Własności
- Dla każdej liczby naturalnej
- Jeżeli jest pierwsza, to każda z liczb jest względnie pierwsza z więc[6]
- [2].
- Jeżeli jest liczbą pierwszą, to[6]
- Jeżeli są wszystkimi czynnikami pierwszymi liczby liczonymi bez powtórzeń, to[7]
- Jeżeli nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj.[7]
- gdzie liczby są pierwsze i parami różne to
- (sumowanie obejmuje wszystkie dzielniki liczby ).
- jest rozkładem liczby na czynniki pierwsze, to
- co wynika z multiplikatywności tej funkcji[9].
Zobacz też
|
Zobacz w Wikiźródłach tabelę wartości funkcji φ
|
Uwagi
- ↑ W Arytmetyce teoretycznej Sierpińskiego funkcja ta nosi nazwę funkcja Gaussa.
Przypisy
- ↑ Funkcje Eulera, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ a b Funkcja φ Eulera [online], www.math.edu.pl [dostęp 2017-10-14] [zarchiwizowane z adresu 2014-12-04] .
- ↑ Twierdzenie Eulera | Informatyka MIMUW [online], smurf.mimuw.edu.pl [dostęp 2017-10-14] (pol.).
- ↑ https://web.archive.org/web/20171014183751/https://cs.pwr.edu.pl/ralowski/dydaktyka/algebra_abstrakcyjna/pomoce/euler.pdf.
- ↑ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 158-171. ISBN 83-01-12124-6.
- ↑ a b Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 159. ISBN 83-01-12124-6.
- ↑ a b Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 160. ISBN 83-01-12124-6.
- ↑ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 161. ISBN 83-01-12124-6.
- ↑ AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. I, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 146-147, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07] .
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Witold Bednarek: Funkcja Eulera. „Delta”, październik 2019. [dostęp 2019-10-02]. (pol.).
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|