Indukcja pozaskończona – rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, m.in. klasę liczb porządkowych.

Wstęp

Zarówno definicje indukcyjne, jak i twierdzenie o indukcji matematycznej można porównać do rozumowań krok po kroku, gdzie kroki są ponumerowane liczbami naturalnymi. Na przykład sedno dowodów indukcyjnych leży zawsze w podaniu uzasadnienia, że dla każdego jeśli do kroku (wyłącznie) wszystko było dobrze, to stąd można wywnioskować, że na kroku też wszystko jest dobrze.

Możemy jednak sobie wyobrazić, że wykonaliśmy wszystkie kroki ponumerowane liczbami naturalnymi i chcemy kontynuować nasz proces. Ponieważ jedyną własnością liczb naturalnych potrzebną do rozumowań indukcyjnych jest, że każdy niepusty podzbiór ma element najmniejszy, naturalnym sposobem na kontynuację naszego procesu, jest deklaracja, że nasze kroki są numerowane przez kolejne elementy pewnego zbioru dobrze uporządkowanego. Ale przecież każdy zbiór dobrze uporządkowany jest porządkowo izomorficzny z pewną liczbą porządkową (której elementy to liczby porządkowe od niej mniejsze). Zatem możemy myśleć, że nasze kroki w procesie indukcyjnym są ponumerowane liczbami porządkowymi. Wówczas sedno rozszerzonych dowodów indukcyjnych (czyli dowodów przez indukcję pozaskończoną) leży w podaniu uzasadnienia, że dla każdej liczby porządkowej jeśli do kroku (wyłącznie) wszystko było dobrze, to stąd można wywnioskować, że na kroku też wszystko jest dobrze.

Twierdzenia

Niech ON oznacza klasę liczb porządkowych. Poniższe twierdzenia można udowodnić w ZF (bez użycia aksjomatu wyboru).

Twierdzenie o dowodzeniu przez indukcję

Przypuśćmy, że jest formułą języka teorii mnogości z jedną zmienną wolną Załóżmy również, że:

Wówczas jest prawdą, że dla każdej liczby porządkowej

Powyższe twierdzenie formułuje się też w następujący sposób: każda niepusta klasa liczb porządkowych ma element najmniejszy.

Dowód: Przypuśćmy, że istnieje taka liczba porządkowa że Wówczas zbiór jest niepusty. Wiadomo, że każdy niepusty zbiór liczb porządkowych jest dobrze uporządkowany przez inkluzję, więc niech Z określenia wynika, że dla każdego mamy skąd wobec otrzymujemy Na mocy założenia wnioskujemy, że zachodzi również a zatem Uzyskana sprzeczność kończy dowód.

Przy powyższym sformułowaniu twierdzenia nie jest potrzebne dodatkowe założenie, że prawdą jest – tzw. „zerowy krok indukcyjny”. Zdanie wynika z już przyjętego założenia dla ponieważ wtedy poprzednik implikacji jest spełniony w sposób pusty, a więc i następnik musi być prawdziwy[1].

Twierdzenie o definicji indukcyjnej

Przypuśćmy, że jest klasą, która jest też funkcją. Wówczas istnieje jedyna funkcja (tak więc jest też klasą) taka, że

Uwagi

  • W twierdzeniu o definicji indukcyjnej, funkcja reprezentuje przepis na konstrukcję obiektu związanego z liczbą przy założeniu, że skonstruowaliśmy już ciąg
  • W praktyce matematycznej, obydwa twierdzenia (zarówno o dowodzeniu, jak i o definiowaniu indukcyjnym) są stosowane w odniesieniu do zbioru liczb porządkowych, często więc do liczb porządkowych mniejszych od pewnej ustalonej liczby Wówczas w przypadku definicji indukcyjnej zarówno wyjściowa funkcja jak i konstruowana funkcja są zwykle zbiorami (a dziedziną tej ostatniej jest często właśnie liczba ).
  • Istnieją jednak sytuacje gdy indukcja jest robiona po wszystkich liczbach porządkowych. Tak się dzieje przy definiowaniu skali alefów, skali betów czy też uniwersum konstruowalnego (i przy wykazywaniu pewnych ich własności).
  • Czasami, ze względu na różny charakter argumentacji, dowody indukcyjne są podzielone na różne rodzaje kroków, typowo następujące trzy:
Krok 0:   pokazujemy, że jest prawdziwe,
Krok następnikowy:   pokazujemy, że jeśli jest prawdziwe, to również zachodzi,
Krok graniczny:   pokazujemy, że jeśli jest liczbą graniczną oraz jest prawdziwe, to również jest prawdziwe.
  • Wprawdzie same twierdzenia o indukcji nie wymagają AC, to często w ich zastosowaniach zakłada się ten aksjomat. Jest to zwykle spowodowane faktem, że musimy przetłumaczyć problem dotyczący jakiegoś zbioru na problem o liczbach porządkowych, a to tłumaczenie osiągamy przez ponumerowanie elementów przy użyciu liczb porządkowych. (Innymi słowy, zwykle najpierw musimy dobrze uporządkować rozważany obiekt, do czego jest potrzebny aksjomat wyboru.)
  • W twierdzeniu o definicji indukcyjnej właściwie nie można wyrażać jedyności funkcji w języku ZFC. Formalnie można udowodnić następujące schematy twierdzeń:
    • (istnienie) Dla każdej klasy (danej przez formulę ) można znaleźć klasę (danej przez formulę ) taką, że
Jeśli jest funkcją, to też jest funkcją i
    • (jedyność) Dla każdej klasy
Jeśli i także
to dla każdego (W tym drugim schemacie używamy twierdzenia o dowodzeniu przez indukcję.)

Przykłady

Definicje indukcyjne:

Przypisy

  1. A. Błaszczyk, S. Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 120 i 121. ISBN 978-83-01-15232-1.

Bibliografia

  • Kenneth Kunen: Set theory. An introduction to independence proofs, „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, New York 1980, ISBN 0-444-85401-0.

Linki zewnętrzne

  • Eric W. Weisstein, Transfinite Induction, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się