Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Funkcja πfunkcja używana w teorii liczb[1][2].

Dla danej liczby rzeczywistej wartość jest liczbą liczb pierwszych nie większych od [1][2].

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych[1].

Właściwości[1]

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji to:

  • dla

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż jest przybliżeniem wartości funkcji

  • dla
  • dla

Ponadto:

gdzie jest logarytmem całkowym.

Funkcja f(x) Riemanna

Bernhard Riemann w swojej pracy[3] zdefiniował funkcję w postaci:

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji składającej się z kilku członów.

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna dla których spełniona jest zależność:

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

Ostatni składnik to stała równa

Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x)

Kolejne przybliżenia funkcji (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor).

Korzystając z transformacji Möbiusa, można przedstawić za pomocą funkcji Riemanna:

gdzie jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu, tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Funkcja π Riemanna

Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci wtedy taką funkcję nazywa się funkcją Riemanna:

Zobacz też

Przypisy

  1. a b c d Eric W. Weisstein, Prime Counting Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  2. a b Prime counting function: Primary definition [online], functions.wolfram.com [dostęp 2017-10-13].
  3. G.F.B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse., listopad 1859 (niem.).

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się