Nierówność Jensena przedstawiona graficznie

Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.

Twierdzenie

Dla dowolnych liczb nazywanych wagami, spełniających warunek:

dla dowolnego przedziału dowolnych liczb

i dowolnej funkcji wypukłej w prawdziwa jest nierówność[1]:

Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

Dowód

Obrazkowy dowód nierówności Jensena. Punkt będący średnią ważoną punktów znajduje się w ich otoczce wypukłej, która (z wypukłości) leży nad wykresem funkcji.

Dowód indukcyjny ze względu na

Dla nierówność jest oczywista. Dla uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech Założenie indukcyjne jest następujące:

gdzie należą do przedziału oraz

Teza indukcyjna to:

gdzie należą do przedziału oraz

Niech oraz Bez straty ogólności można założyć, że Wówczas:

Korzystając z założenia indukcyjnego:

Z definicji funkcji wypukłej:

co kończy dowód.

Funkcja wklęsła

Aby udowodnić nierówność gdy jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

co jest równoważne nierówności

Uwagi

  • W szczególności dla nierówność przyjmuje postać:
  • Korzystając z nierówności Jensena, można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.

Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwa

Niech będzie funkcją wypukłą, będzie zmienną losową, oraz będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

Jeżeli ponadto jest odpowiednim σ-ciałem zdarzeń, to dla warunkowej wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

Zobacz też

Przypisy

  1. nierówność Jensena, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-03].

Bibliografia


Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się