Hipersfera (gr. υπερ hyper „nad, ponad” i σφαῖρα sphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.
Definicja formalna
Dla dowolnej liczby naturalnej hipersfera o promieniu jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej, które znajdują się w odległości od wybranego punktu środkowego gdzie jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni -wymiarowej[1]:
Jest to n-wymiarowa rozmaitość w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej[1]. W szczególności:
hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka[2],
hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie[3],
hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli[4],
hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywa się sferą jednostkową i oznacza [5]. Sfera -wymiarowa stanowi brzeg kuli-wymiarowej. Dla hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.
Współrzędne
Zbiór punktów w przestrzeni -wymiarowej który tworzy hipersferę, opisuje równanie
Przestrzeń ograniczoną przez hipersferę nazywa się -wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:
Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę -wymiarową o promieniu który jest hiperkulą-wymiarową, ma postać:
gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów rozmiar zaczyna maleć, zmierzając do zera w nieskończoności
Powierzchnia
Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery -wymiarowej można uzyskać, obliczając pochodną objętości hiperkuli -wymiarowej względem promienia[7]
gdzie podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
Zestawienie wartości współczynników
Wymiar n-1
Współczynnik
Dziesiętne przybliżenie
Klasyczna interpretacja
–1
0,00000
0
2,00000
liczba punktów tworzących sferę
1
6,28318
długość okręgu
2
12,56637
powierzchnia kuli
3
19,73920
4
26,31894
5
31,00627
6
33,07336
7
32,46969
Wśród hipersfer jednostkowych największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności
Wzory na i można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli, gdy nie jest dodatnią liczbą całkowitą.
Obszar w przestrzeni -wymiarowej jako funkcja ciągła
Powierzchnia jednostkowej sfery -wymiarowej
Objętość jednostkowej kuli -wymiarowej
Współrzędne hipersferyczne
Analogicznie do współrzędnych sferycznych, w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni -wymiarowej, w których składowymi są promień i współrzędnych kątowych gdzie zawiera się w przedziale a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale
Jeśli przez oznaczy się współrzędne kartezjańskie, to ich wartości można wyznaczyć jako: