Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych[1], opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych[2]

gdzie:

współrzędne uogólnione,
– pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej),
– liczba stopni swobody,
– czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równania Hamiltona-Jacobiego.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Metody otrzymywania funkcji Hamiltona

Funkcję Hamiltona otrzymuje się,

przy czym należy zastąpić prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu

Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.

Punkt materialny

(1) Jeżeli cząstka o masie porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

Ponieważ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

Oscylator harmoniczny

Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku ma postać

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a

gdzie:

– współrzędna uogólniona,
– prędkość uogólniona,
– czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Przykłady pędów uogólnionych

  • W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami.
  • We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki.
  • W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie mieć prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.


Przypisy

  1. Funkcja Hamiltona, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-22].
  2. „Encyklopedia fizyki” praca zbiorowa, PWN 1973, T. 1, s. 737.

Bibliografia


Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się