W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jak pręty, płyty, powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy mechaniki ośrodków ciągłych[1].
Układ współrzędnych
We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych związanym z przekrojem poprzecznym pręta, którego normalna zewnętrzna jest skierowana zgodnie z ujemnym zwrotem osi Układ będzie utożsamiany z układem osi głównych, centralnych. Oś pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.
Siły przekrojowe w przekroju są dodatnie wtedy, gdy mają zwroty zgodne z układem osi Wartości tych sił wynikają z redukcji lewostronnych obciążeń zewnętrznych do środka ciężkości przekroju
Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta[2]. Jeżeli ten wektor ma dwie, różne od zera składowe i (liczone względem głównych centralnych osi bezwładności), to zginanie takie jest ukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. zginanie jest płaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie Naprężenia normalne w przypadku czystego zginania, określone są przez siły przekrojowe wzorem
Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta[2]. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających i są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających i z działaniem siły podłużnej Naprężenie normalne określone jest wzorem[2]
Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.
Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla i wynosi:
gdzie:
– wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.
W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia wzdłuż wysokości przekroju pręta
Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem
Dla bardzo małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę osi pręta można przybliżyć drugą pochodną linii ugięcia
otrzymując równanie różniczkowe tej linii:
Znak minus w tym równaniu wynika stąd, że dodatni moment działający w przekroju powoduje wygięcie pręta skierowane wypukłością ku górze.
Na podstawie twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego, przy założeniu że otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego
Przykład 1
Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy
Analizując równowagę elementu o długości wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)
skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie
Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi tzn. w płaszczyźnie ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej o krzywiźnie Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.
Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami element o długości Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje obracają się względem siebie o kąt i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie odległym o od osi Odległość tę nazywamy promieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek Wydłużenie „włókna” położonego w odległości od osi obojętnej przekroju wynosi
Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów
otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego wzór
Uwzględniając fakt, że otrzymujemy przy założeniu, że następujące związki:
W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału osi pręta pryzmatycznego, na długości którego można napisać
gdzie przez oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie na osi pręta.
Przykład 2
Dana jest pryzmatycznabelka wspornikowa o długości utwierdzona na prawym końcu i zginana w płaszczyźnie obciążeniem o wartości q stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:
gdzie przez oznaczono rzędną linii ugięcia osi.
Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych