ustalenie punktu początkowego (O, ang.origin), tzw. początku układu,
ustalenie bazy wektorów przestrzeni za pomocą których można wyrazić wektory wodzące punktów przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj.
Współczynniki stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.
W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy oś liczbową.
Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni
Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:
dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy itp. wystarczy 1 współrzędna,
dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyznysfery (powierzchni kuli) itp. potrzebne są 2 współrzędne,
dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni kuli itp. potrzebne są 3 współrzędne,
dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych,
dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.
W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych, np.
Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność
Uogólnienia
(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.
(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się
układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe,
(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.