Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.
Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).
Twierdzenie
Niech będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą ponadto oznacza funkcję analityczną na obszarze dla którego Wówczas
Wnioski
Zatem możemy zdefiniować całkę
(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).
- Dla jak powyżej określmy funkcję przez
Wówczas funkcja jest analityczna oraz
- Niech będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym z wyjątkiem punktów oraz niech będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią taką że okręgi o środku w i promieniu (dla ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas
(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).
Zobacz też
Bibliografia