Teoria grup – dział matematyki wyższej, konkretniej algebry abstrakcyjnej, badający grupy[1]. Początkowo rozważano głównie grupy cykliczne i grupy permutacji, jednak z czasem zaczęto badać ich uogólnienia zdefiniowane aksjomatycznie, co zapoczątkowało historycznie pierwszy dział algebry abstrakcyjnej[potrzebny przypis]. Teorię grup można uważać za ogólne badania nad symetrią[potrzebny przypis].
Struktury będące grupami – np. dodatnie liczby wymierne z mnożeniem – rozważano już w starożytności, jednak badania tych grup, którym ta dziedzina poświęca szczególną uwagę, zaczęły się wieki później. W I połowie XIX wieku Évariste Galois wprowadził ten termin w kontekście permutacji i zastosował grupy do badań wielomianów. Późniejsi uczeni znaleźli zastosowania grup do innych dziedzin matematyki, np.:
W XX wieku udowodniono nowe twierdzenia na temat grup, m.in. podano klasyfikację skończonych grup prostych i twierdzenie Feita-Thompsona, a John Griggs Thompson za swoje prace w tej dziedzinie otrzymał najwyższe wyróżnienia matematyczne. W latach 20. XXI wieku dalej ukazują się czasopisma naukowe poświęcone grupom[2].
Bezpośrednie zastosowania tej teorii znaleziono także poza matematyką czystą. Pojawiają się one w kryptografii, fizyce teoretycznej, chemii i biologii – zwłaszcza genetyce – a nawet sztuce, np. teorii muzyki czy sztukach wizualnych. Związki grup z fizyką są wielorakie:
Przez to z teorii grup korzystają teoria względności, fizyka cząstek elementarnych, spektroskopia[potrzebny przypis] i fizyka ciała stałego, w tym krystalografia. Teoria grup była też inspiracją dla polskiego filmu fabularnego[3].
Ludzkość przez stulecia wprowadzała do rozważań różne struktury algebraiczne, które potem sklasyfikowano jako grupy; pierwszym przykładem mogą być dodatnie liczby wymierne z działaniem mnożenia. Własności pewnych działań na iloczynach jak potęgowanie naturalne i odwracanie – początkowo rozważane osobno od potęgowania – mówią, że funkcje te są automorfizmami tej grupy.
Pitagorejczycy wykazali, że ułamki zbudowane z liczb naturalnych nie wystarczą do opisu odległości. Można to uznać za narodziny wiedzy o szerszym zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych, który próbował sformalizować Eudoksos z Knidos[potrzebny przypis]. W starożytnej Grecji badano też konstrukcje klasyczne, a określone nimi dodatnie liczby konstruowalne również tworzą grupę mnożeniową (multyplikatywną).
W Europie nowożytnej zaakceptowano w pełni liczby ujemne, przez co w dyskursie pojawiły się inne przykłady struktur nazwanych potem grupami jak:
Pewne prawidła arytmetyki z późniejszej perspektywy opisują homomorfizmy tych grup:
XVI-wieczne Włochy to też początek badań nad liczbami zespolonymi, które są grupą addytywną, przy wyłączeniu zera – grupą multyplikatywną, a ponadto:
W XVII wieku John Napier opisał logarytmy. Okazały się użyteczne obliczeniowo dzięki własności, która opisuje izomorfizm między grupą mnożeniową dodatnich liczb rzeczywistych a grupą addytywną wszystkich liczb rzeczywistych. To samo stulecie to też narodziny ogólnego pojęcia funkcji w pracach Gottfrieda Wilhelma Leibniza[potrzebny przypis]; bez rozważań funkcji nie byłoby:
Można powiedzieć, że w XVIII wieku ludzkość znała:
Początków właściwej teorii grup można upatrywać dwóch działach matematyki: teorii liczb i klasycznej, elementarnej algebrze.
Najstarsze twierdzenia zaliczone potem do teorii grup dotyczą skończonych grup przemiennych i pochodzą z teorii liczb całkowitych, konkretniej z arytmetyki modularnej. Pierwszym wynikiem tego typu było chińskie twierdzenie o resztach, a do późniejszych należą małe twierdzenie Fermata i uogólniające je twierdzenie Eulera. Kongruencje liczb badał też Carl Friedrich Gauss w swojej pracy Rozważania arytmetyczne (łac. Disquisitiones Arithmeticae); z późniejszej perspektywy badał on pierścienie ilorazowe pierścienia liczb całkowitych, tzn. grupy addytywne i multiplikatywne pewnych pierścieni i ciał. Idee te nie były również obce Évariste’owi Galois, od nazwiska którego pochodzi inna nazwa ciała skończonego: ciało Galois.
Inną drogą do teorii grup – nie tylko przemiennych – były badania nad rozwiązalnością równań algebraicznych za pomocą pierwiastników. Joseph Louis Lagrange i Paolo Ruffini badali w tym kontekście grupy przekształceń zmieniających porządek elementów zbiorów skończonych, później nazwane grupami permutacji. Ruffini przedstawił w 1799 roku twierdzenie mówiące, że niektórych równań algebraicznych stopnia wyższego niż czwarty nie da się rozwiązać pierwiastnikami. Jego wynik początkowo zignorowano, być może przez złożoność i odkryte później nieścisłości. Badania te kontynuował Niels Henrik Abel, który w 1824 roku przedstawił prostszy dowód; dlatego wynik ten nazwano twierdzeniem Abela-Ruffiniego.
W 1830 roku problem ten przeanalizował głębiej Évariste Galois. Wprowadzając pojęcie grupy rozwiązalnej, podał warunek równoważny na rozwiązalność równania wielomianowego przez pierwiastniki. Doniosłości jego prac początkowo nie doceniono, ale kilkanaście lat po jego śmierci teorię Galois zaczęto wykładać i rozwijać. To właśnie on jako pierwszy użył nazwy „grupa” (fr. groupe), odnosząc ją do wspominanych grup permutacji (zob. działanie grupy na zbiorze). W 1854 roku Arthur Cayley uogólnił je, definiując abstrakcyjne grupy przez aksjomaty[4].
Od XIX wieku w rozważaniach matematycznych pojawiły się nowe przykłady grup oraz zastosowania dla ich ogólnej teorii.
W XIX wieku analiza matematyczna zaczęła definiować nowe obiekty tworzące grupy jak ciągi zbieżne, ciągi zbieżne do zera, ciągi sumowalne, funkcje ciągłe, różniczkowalne, regularne, gładkie, analityczne czy całkowalne (przestrzenie Lp i Sobolewa). Z drugiej strony teoria grup nie poświęca im zbyt wiele uwagi, a badania tych obiektów nie korzystają z twierdzeń teorii grup[potrzebny przypis].
William Rowan Hamilton opisał kwaterniony, które po wyłączeniu z nich zera tworzą nieprzemienną grupę mnożeniową. Jedna z jej podgrup jest istotna w teorii grup skończonych[potrzebny przypis]. Oprócz tego ten przykład liczb hiperzespolonych przyczynił się do rozważań ogólnych przestrzeni kartezjańskich, np. w pracach Hermanna Grassmanna.
W geometrii grupy posłużyły do klasyfikacji różnorakich teorii. W 1872 roku Felix Klein w swoim programie erlangeńskim ustalił związki między nimi, przyjmując za podstawę pojęcie grupy przekształceń.
W 1884 roku Marius Sophus Lie zaczął używać grup ciągłych – później nazwanych grupami Liego – w problemach analizy.
Pod koniec XIX wieku zaczęto rozważać liczby n-adyczne tworzące grupy addytywne, a należące do nich liczby p-adyczne różne od zera dodatkowo tworzą grupy mnożeniowe. Wiek XX przyniósł dalsze typy liczb tworzące grupy jak liczby hiperrzeczywiste i nadrzeczywiste, przy czym te ostatnie są klasą właściwą, wymykając się standardowej definicji grupy jako rodzaju zbioru.
W II połowie XX wieku wynaleziono kostkę Rubika, której różne ustawienia tworzą grupę. Została przebadana przez matematyków, m.in. opisano jej rząd (moc), a przy pomocy komputera także średnicę, czasem zwaną boską liczbą[potrzebny przypis].
Zawężając listę aksjomatów, grupy można uogólnić na inne struktury z jednym działaniem jak monoidy, półgrupy, magmy czasem zwane grupoidami, małe kategorie i ich szczególne przypadki, również zwane grupoidami. Innym uogólnieniem grup są grupy kwantowe[5].
Z drugiej strony grupy przemienne można wzbogacić o dodatkowe działania jak:
Journal of Group Theory, degruyter.com [dostęp 2023-02-15].
Teoria grup, filmpolski.pl, 18 stycznia 2023 [dostęp 2023-02-18].
Matematyka dyskretna 2, Wykład 4: Elementy teorii grup, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-18]. Grant Sanderson, Euler's formula with introductory group theory, kanał 3blue1brown, YouTube, 3 marca 2017 [dostęp 2021-03-14].Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.
Zawartość tej strony pochodzi stąd.
.jpg)
.jpg)