Ten artykuł dotyczy systemu liczbowego. Zobacz też: arytmetyka resztowa liczb całkowitych.

System resztowy (RNS od ang. residue number system) – system liczbowy służący do reprezentacji liczb całkowitych wektorem reszt z dzielenia względem ustalonego wektora wzajemnie względnie pierwszych modułów. Chińskie twierdzenie o resztach orzeka, że taka reprezentacja jest jednoznaczna dla liczb całkowitych ze zbioru gdzie jest iloczynem wszystkich modułów.

Niech będzie bazą względnie pierwszych modułów, a ich iloczynem. Wtedy reprezentacją liczby w systemie resztowym o bazie jest gdzie dla każdego

Operacje

Na liczbach reprezentowanych w systemie resztowym może być efektywnie przeprowadzonych wiele operacji arytmetycznych. Wykonuje się je, przeprowadzając niezależnie na odpowiednich resztach „zwykłe” operacje, a następnie operację modulo odpowiedniego modułu. Dla następujących operacji rozważmy dwie liczby całkowite, i reprezentowane przez i w systemie resztowym zdefiniowanym przez bazę (dla z przedziału ).

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie (lub odejmowanie) może być wykonane przez proste dodawanie (lub odejmowanie) małych liczb całkowitych i policzenie odpowiedniego modułu:

może być policzone w systemie resztowym jako:

Mnożenie

Mnożenie można wykonać w podobny sposób do dodawania i odejmowania. Aby obliczyć:

liczymy:

Przykład

Przyjmijmy bazę Rozpatrzmy dwie liczby, i W przyjętym systemie resztowym liczby te reprezentujemy jako

Obliczamy wartość iloczynu przy użyciu systemu resztowego:

Liczba (0, 1, 1) po zamianie na liczbę całkowitą w reprezentacji dziesiętnej wynosi 16.

Dzielenie

Dzielenie w systemie resztowym jest bardziej skomplikowanie.

Z drugiej strony jeśli jest liczbą pierwszą dla (tzn. dla wszystkich ), wtedy

może być prosto policzone przez

gdzie jest liczbą odwrotną do i jest liczbą odwrotną z modulo (współczynniki mogą zostać wyliczone raz dla danego systemu resztowego).

Konwersja odwrotna

Konwersję odwrotną można przeprowadzić w następujący sposób. Niech będzie reprezentacją liczby w systemie resztowym o bazie oraz niech

oraz

gdzie:

wtedy

Np. w systemie o bazie (3, 5, 7) reprezentacją jest (2, 3, 4), wtedy

oraz

więc

Zobacz też

Linki zewnętrzne

  • http://www.cs.rpi.edu/research/ps/93-9.ps – artykuł opisujący jeden z możliwych algorytmów dzielenia

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Podziel się