Przestrzeń afiniczna – abstrakcyjna struktura uogólniająca te własności przestrzeni euklidesowych, które są niezależne od pojęć odległości i kąta. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty by wyznaczyć wektory, oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.
Przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako „krok pośredni” między przestrzenią euklidesową a przestrzenią rzutową. Przestrzeń opisywana w teoriach fizycznych (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale posiada również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć struktury metrycznej ani konforemnej.
Elementy zbioru nazywa się punktami i zapisuje pismem prostym (np. ).
Elementy zbioru nazywa się wektorami i zapisuje pismem półgrubym (np. ).
Elementy ciała nazywa się skalarami i zapisuje pismem pochyłym (np. ).
Definicja 1
Przestrzenią afiniczną nazywa się parę wyposażoną w działanie
spełniające aksjomaty:
dla dowolnego oraz
dla każdego
dla dowolnych istnieje tylko jeden wektor taki, że
Wektor łączący punkty oraz (w podanej kolejności) z aksjomatu 3 oznacza się symbolem lub zapisuje w postaci
Przestrzeń nazywa się przestrzenią liniową stowarzyszoną z daną przestrzenią afiniczną lub przestrzenią wektorów swobodnych. Wymiarem przestrzeni afinicznej nazywa się wymiar przestrzeni liniowej
Definicja 2
Równoważnie przestrzeń afiniczną można określić za pomocą działania odwrotnego (względem ustalonego punktu ) do określonego w definicji,
Z każdą przestrzenią liniową jest związana przestrzeń afiniczna, o ile przyjmie się wtedy termin punkt zastępuje się zwykle całkowicie terminem wektor. Działanie dodawania wektorów do punktów określa się wówczas jako dodawanie elementów przestrzeni
Zgodnie z definicją równoważną, w której dwóm punktom przypisuje się wektor, przestrzeń liniową można przekształcić w afiniczną dodając do niej działanie
Tłumaczy ono pochodzenie notacji korzystającej z odejmowania punktów w pierwszej definicji przestrzeni afinicznej. Na ogół bada się przestrzenie afiniczne skończonego wymiaru.
Baza i niezależność
Układem współrzędnych afinicznych bądź bazowym lub krótko: bazą przestrzeni afinicznej skończonego wymiaru nazywa się ciąg gdzie jest ustalonym punktem ze zbioru nazywanym punktem bazowym lub początkiem układu, a jest bazą przestrzeni Współrzędne punktu to współrzędne wektora względem bazy
Układ punktów nazywa się afinicznie lub punktowo niezależnym, jeżeli wektory są liniowo niezależne. W ten sposób punktów przestrzeni afinicznej rozpina-wymiarową przestrzeń liniową.
Dla każdego wektory stanowią układ liniowo niezależny. O ile dany punkt daje się zapisać jako kombinację afiniczną układu afinicznie niezależnego, to można to zrobić w dokładnie jeden sposób (współrzędne jednoznacznie identyfikują punkt względem takiego układu).
Podprzestrzeń afiniczna
Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej nazywa się parę taką, że jest podprzestrzenią liniową a jest niepustympodzbiorem która sama jest przestrzenią afiniczną. Oznacza to, że dla określonej wyżej spełnione są warunki:
dla wszystkich
dla wszystkich
Tak jak przestrzeń afiniczną, jej podprzestrzeń opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary. Przestrzeń jest w tym wypadku jednoznacznie wyznaczona przez zbiór i nosi nazwę przestrzeni kierunkowej danej podprzestrzeni afinicznej.
Przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się przestrzenią euklidesową, jeżeli jest przestrzenią skończenie wymiarową wyposażoną w iloczyn skalarny Iloczyn skalarny wyznacza metrykę
gdzie
Dodatkowo określa się odległość między podprzestrzeniami wzorem
Kąt między podprzestrzeniami definiuje się jako kąt między ich przestrzeniami kierunkowymi. Te, które tworzą ze sobą kąt prosty nazywa się prostopadłymi (ortogonalnymi).
Uogólnienia
Dość zwięzłą definicją przestrzeni afinicznej jest następująca jej charakteryzacja: przestrzeń afiniczna to zbiór punktów z działającą na nim regularnie (równoważnie: ściśle przechodnio albo przechodnio w sposób wolny) grupą addytywną przestrzeni liniowej nad ciałem Przestrzeń afiniczną można określić analogicznie poprzez zastąpienie przestrzeni liniowej modułem.