ResponseEve, a responsive template by SiGa

Pierwiastek sześcienny – dla danej liczby $a$ każda liczba $x,$ której sześcian $x^{3}$ jest równy danej liczbie $a.$ Zwykle oznacza się je jako ${\sqrt[{3}]{a}}$ ^[1], gdzie ${\sqrt[{3}]{}}$ jest symbolem pierwiastka sześciennego. Liczba $a$ nazywana jest liczbą podpierwiastkową.

Przykłady

Pierwiastkiem sześciennym z zera jest zero. Jest to jedyny pierwiastek sześcienny z zera.
Liczba $2$ jest pierwiastkiem sześciennym z $8,$ ponieważ $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8.$
Nie każda liczba całkowita ma całkowity pierwiastek. Na przykład ${\sqrt[{3}]{2}}$ jest liczbą niewymierną.
Pierwiastek sześcienny z liczby naturalnej jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pierwiastkowana jest sześcianem liczby naturalnej^[2]. W twierdzeniu tym liczby naturalne można zastąpić liczbami całkowitymi.
Pierwiastek sześcienny z liczby wymiernej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest sześcianem liczby wymiernej.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ istnieje dokładnie jeden rzeczywisty pierwiastek sześcienny z $x.$ Wynika to z tego, że funkcja

f(x)=x^{3}

dla

x\in \mathbb {R}

jest ciągłą funkcją rosnącą oraz

\lim _{x\to \infty }x^{3}=\infty

i

\lim _{x\to -\infty }x^{3}=-\infty .

Z wartości granic na podstawie twierdzenia Darboux wynika wtedy, że funkcja ta przekształca zbiór

\mathbb {R}

liczb rzeczywistych na

\mathbb {R} ,

a z monotoniczności wynika jej różnowartościowość. Dlatego dla każdej liczby

a\in \mathbb {R}

istnieje dokładnie jedna liczba

b=f^{-1}(a)\in \mathbb {R} .

Liczba

b

jest pierwiastkiem sześciennym z

a.

Tożsamości związane z pierwiastkiem sześciennym

Z definicji pierwiastka sześciennego wynika, że

{\sqrt[{3}]{x}}=x^{{1}/{3}},

skąd wynikają następujące równości:

{\sqrt[{3}]{x^{m}}}=\left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{m}=\left(x^{1/3}\right)^{m}=x^{m/3}.

Dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ zachodzi wzór

\left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,

\left(x^{{1}/{3}}\right)^{3}=x^{{3}/{3}}=x.

Pierwiastek sześcienny z liczby przeciwnej można obliczyć następująco:

{\sqrt[{3}]{-x}}=-{\sqrt[{3}]{x}}.

Jeżeli $x,y$ są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi to:

${\sqrt[{3}]{xy}}={\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}},$
${\sqrt[{3}]{x/y}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}}}$ dla $y\neq 0.$

Tożsamości dla sumy i różnicy pierwiastków sześciennych:

${\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a+b+3{\sqrt[{3}]{a^{2}b}}+3{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}}={\frac {a+b}{{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}},$
${\sqrt[{3}]{a}}-{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a-b-3{\sqrt[{3}]{a^{2}b}}+3{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}}.$

Obliczanie pierwiastka sześciennego

Korzystając z zależności^[a]

{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots

można zastosować następujący algorytm obliczania pierwiastka sześciennego dysponując kalkulatorem kieszonkowym wyposażonym w klawisz do wyznaczania pierwiastka kwadratowego i mnożenia, rozpoczynając go po uzyskaniu na wyświetlaczu liczby, z której chcemy obliczyć pierwiastek sześcienny.

Naciśnij jeden raz klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia.
Naciśnij dwa razy klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia.
Naciśnij cztery razy klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia.
Naciśnij osiem razy klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia...

Proces należy kontynuować, aż liczba przestanie się zmieniać po naciśnięciu klawisza mnożenia, ponieważ powtarzana operacja pierwiastkowania wynosi 1 (co oznacza, że rozwiązanie zostało osiągnięte z największą dokładnością jaką ten kalkulator mógł osiągnąć). A następnie:

Naciśnij ostatni raz klawisz pierwiastkowania.

W tym momencie na wyświetlaczu pojawi się przybliżona wartość pierwiastka sześciennego.

Objaśnienie metody

Podnosząc $x$ do potęgi po obu stronach tożsamości powyżej otrzymujemy:

x^{\frac {1}{3}}=x^{{\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots }.

(*)

Z lewej strony równania mamy pierwiastek sześcienny z $x.$

W kolejnych krokach algorytmu powyżej otrzymujemy:

Po drugim kroku:

x^{\frac {1}{2}}

Po czwartym kroku:

x^{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)}

Po szóstym kroku:

x^{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)}

Po ósmym kroku:

x^{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)}

itd.

Po przeliczeniu niezbędnych wyrażeń zależnych od dokładności kalkulatora, ostatni pierwiastek kwadratowy określa prawą stronę równania (*).

Metoda alternatywna

Powyższa metoda wymaga aby kalkulator był wyposażony w funkcję pierwiastka kwadratowego. Dysponując prostą metodą obliczania pierwiastka kwadratowego następujące wyrażenie jest szybko zbieżne do wyniku:

x_{i+1}={\tfrac {4}{3}}{\sqrt[{4}]{ax_{i}}}-{\tfrac {1}{3}}x_{i}.

Gdzie z każdą iteracją wynik jest zbieżny do pierwiastka sześciennego z $a.$

Ta metoda wymaga mniej iteracji niż metoda Halleya, ale wymaga więcej obliczeń, ukrytych w wyznaczeniu pierwiastków kwadratowych. Z uwagi na szybką zbieżność, początkowe przybliżenie wartością 1 jest wystarczające.

Przykładowe wartości

{\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{1}}&=1&{\sqrt[{3}]{11}}\approx 2{,}2239800905693155211653633...\\{\sqrt[{3}]{2}}&\approx 1{,}2599210498948731647672106...&{\sqrt[{3}]{12}}\approx 2{,}2894284851066637356160844...\\{\sqrt[{3}]{3}}&\approx 1{,}4422495703074083823216383...&{\sqrt[{3}]{13}}\approx 2{,}3513346877207574895000163...\\{\sqrt[{3}]{4}}&\approx 1{,}5874010519681994747517056...&{\sqrt[{3}]{14}}\approx 2{,}4101422641752299861283696...\\{\sqrt[{3}]{5}}&\approx 1{,}7099759466766969893531088...&{\sqrt[{3}]{15}}\approx 2{,}4662120743304701014916113...\\{\sqrt[{3}]{6}}&\approx 1{,}8171205928321396588912117...&{\sqrt[{3}]{16}}\approx 2{,}5198420997897463295344212...\\{\sqrt[{3}]{7}}&\approx 1{,}9129311827723891011991168...&{\sqrt[{3}]{17}}\approx 2{,}5712815906582353554531872...\\{\sqrt[{3}]{8}}&=2&{\sqrt[{3}]{18}}\approx 2{,}6207413942088966071416612...\\{\sqrt[{3}]{9}}&\approx 2{,}0800838230519041145300568...&{\sqrt[{3}]{19}}\approx 2{,}6684016487219448673396273...\\{\sqrt[{3}]{10}}&\approx 2{,}1544346900318837217592935...&{\sqrt[{3}]{20}}\approx 2{,}7144176165949065715180894...\end{aligned}}

Liczby zespolone

Pierwiastki sześcienne z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Dla każdej różnej od 0 liczby zespolonej $z$ istnieją dokładnie trzy liczby $w$ takie, że $w^{3}=z{:}$ będące pierwiastkami sześciennymi z liczby $z.$ Wynika to z algebraicznej domkniętości ciała liczb zespolonych, z której wynika, że wielomian $w^{3}-z=0$ zmiennej zespolonej $w$ ma dla każdego ustalonego $z$ dokładnie trzy rozwiązania.

W szczególności pierwiastek sześcienny z 1 to:

{\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}e^{i{\frac {2\pi }{3}}\cdot 0}=1\\e^{i{\frac {2\pi }{3}}\cdot 1}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}i\\e^{i{\frac {2\pi }{3}}\cdot 2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}i=e^{-i{\frac {2\pi }{3}}}.\end{cases}}

Dwa ostatnie rozwiązania prowadzą do zależności pomiędzy wszystkimi pierwiastkami sześciennymi z ustalonej liczby zespolonej $z.$ Jeśli dana liczba jest pierwiastkiem sześciennym z $z,$ to pozostałe dwa pierwiastki można wyznaczyć, mnożąc je odpowiednio przez dwa zespolone pierwiastki sześcienne z jedności.

Aby znaleźć wszystkie pierwiastki sześcienne z liczby rzeczywistej $x,$ oznaczone odpowiednio $z_{0},$ $z_{1}$ i $z_{2},$ obliczamy:

z_{0}={\sqrt[{3}]{x}},

z_{1}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{x}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}{\sqrt[{3}]{x}},

z_{2}={\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{x}}=e^{-i{\frac {2\pi }{3}}}{\sqrt[{3}]{x}}.

Pierwiastek sześcienny na powierzchni Riemanna

Funkcja $w=z^{1/3}$ może dla każdej wartości $z$ formalnie przyjąć trzy wartości zespolone. Nie byłaby wtedy jednak funkcją. Dlatego buduje się za pomocą przedłużenia analitycznego powierzchnię Riemanna, na której można określić pierwiastek sześcienny jako funkcję. Powierzchnię tę można sobie wyobrazić jako trzy egzemplarze płaszczyzny zespolonej z usuniętym punktem 0 rozcięte wzdłuż półprostych wychodzących z punktu 0 i połączone z sobą tak, jak jest to pokazane na rysunku.

Pierwiastek sześcienny w algebrze

Z algebraicznego punktu widzenia pierwiastkiem sześciennym jest dowolne rozwiązanie równania $x^{3}-a=0$ zmiennej $x$ (czyli pierwiastek wielomianu $x^{3}-a$ ). Równania takie można rozpatrywać nad dowolnym pierścieniem przemiennym.

Historia

Zobacz też: podwojenie sześcianu.

W 499 n.e Aryabhata opisał metodę znajdowania pierwiastków sześciennych z liczb wielocyfrowych w swoim dziele Aryabhatiya (rozdział 2.5)^[3].

Zobacz też

Uwagi

↑ Dowód tożsamości Aby obliczyć prawą stronę tożsamości należy wyznaczyć wartość iloczynu nieskończonego
$\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots =\left(1+{\frac {1}{4^{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{4^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{4^{8}}}\right)\dots$
podstawiamy ${\tfrac {1}{4}}=q$ i uzyskujemy
$(1+q)(1+q^{2})(1+q^{4})(1+q^{8})\dots$
Przeliczamy rekurencyjnie kolejne iloczyny:
$(1+q+q^{2}+q^{3})(1+q^{4})(1+q^{8})\dots =(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+q^{6}+q^{7})(1+q^{8})\dots =\sum \limits _{i=0}^{\infty }1\cdot q^{i}$
W wyniku uzyskujemu nieskończony szereg geometryczny, który jest zbieżny $(|q|<1),$ zaś jego sumę obliczamy
$\sum _{n=0}^{\infty }a_{0}q^{n}={\frac {a_{0}}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}$
Po uwzględnieniu pierwszego czynnika w zadanej tożsamości otrzymujemy
${\frac {1}{2^{2}}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {1}{3}}$
Q.e.d.

Przypisy

↑ pierwiastek sześcienny, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-08-27] .
↑ Sierpiński 1968 ↓, s. 244.
↑ Aryabhatiya (marathi), Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p. 62, ISBN 978-81-7434-480-9.

Bibliografia

Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Wyd. 4. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968.

Linki zewnętrzne

Computing the Cube Root, K. Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998. (ang.) Zawiera kod źródłowy w C.
Pierwiastek sześcienny na PlanetMath.
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pierwiastek sześcienny, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[3] Dowód tożsamości Aby obliczyć prawą stronę tożsamości należy wyznaczyć wartość iloczynu nieskończonego
$\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots =\left(1+{\frac {1}{4^{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{4^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{4^{8}}}\right)\dots$
podstawiamy ${\tfrac {1}{4}}=q$ i uzyskujemy
$(1+q)(1+q^{2})(1+q^{4})(1+q^{8})\dots$
Przeliczamy rekurencyjnie kolejne iloczyny:
$(1+q+q^{2}+q^{3})(1+q^{4})(1+q^{8})\dots =(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+q^{6}+q^{7})(1+q^{8})\dots =\sum \limits _{i=0}^{\infty }1\cdot q^{i}$
W wyniku uzyskujemu nieskończony szereg geometryczny, który jest zbieżny $(|q|<1),$ zaś jego sumę obliczamy
$\sum _{n=0}^{\infty }a_{0}q^{n}={\frac {a_{0}}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}$
Po uwzględnieniu pierwszego czynnika w zadanej tożsamości otrzymujemy
${\frac {1}{2^{2}}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {1}{3}}$
Q.e.d.

[epwn-1] pierwiastek sześcienny, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-08-27] .

[CITEREFSierpiński1968244-2] Sierpiński 1968 ↓, s. 244.

[4] Aryabhatiya (marathi), Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p. 62, ISBN 978-81-7434-480-9.

[1]

[2]

[a]

[3]