Odwzorowanie ciągłeprzedziału w płaszczyznę nazywa się krzywą na płaszczyźnie. Jeśli to tę krzywą nazywa się zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale nazywana jest ona krzywą Jordana.
W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem[2].
Twierdzenia
Który z zaznaczonych punktów należy do wnętrza wielokąta?
Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem[1].
Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych w żadnym punkcie niegładkich jest to zadanie trudne. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.
Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.
Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962.
Witold Hurewicz, Henry Wallman: Teoria wymiaru (tłum. ros.). Moskwa: ГИИЛ, 1945.
Linki zewnętrzne
Grant Sanderson, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem), 3blue1brown, YouTube, [dostęp 2021-03-15] – materiał o problemie prostokątów wpisanych w krzywe Jordana.
