Wykres wartości funkcji Möbiusa dla

Funkcja Möbiusa, funkcja funkcja arytmetyczna określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku[1] i zdefiniowana w następujący sposób:

  • ,
  • , jeśli liczba jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej (jest kwadratowa),
  • , jeśli liczba jest iloczynem parami różnych liczb pierwszych (jest bezkwadratowa).

Funkcja wykorzystywana jest często w elementarniej i analitycznej teorii liczb. Występuje w twierdzeniu Möbiusa o odwracaniu.

Wartości

Wartości funkcji Möbiusa dla małych (ciąg A008683 w OEIS):

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

(A030059 w OEIS) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
(A013929 w OEIS) 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
(A030229 w OEIS) 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Własności

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, że

,

jeśli i liczbami względnie pierwszymi. Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną.

Dla dowolnej liczby całkowitej zachodzi

gdzie oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby . Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.

Funkcja zeta Riemanna

Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej o części rzeczywistej zachodzi równość

.

Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,

zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.

Ponadto

.

Szeregi

Funkcja występuje w następujących szeregach zbieżnych:

  • , co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych[2],
  • , gdzie to logarytm naturalny,
  • , gdzie jest stałą Eulera-Masheroniego.

Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg

,

który jest zbieżny dla . Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej zachodzi

również dla .

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

Utwórzmy sumę:

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

Funkcja Mertensa

 Osobny artykuł: Funkcja Mertensa.

W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa

.

Zależność jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych[2], a - z hipotezą Riemanna[3].

Przypisy

  1. August Ferdinand Möbius, Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen, „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, 9, 1832, s. 105-123 (niem.).
  2. a b Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-12-11] (ang.).
  3. Edward C. Titchmarsh, D.R. Heath-Brown, The theory of the Riemann zeta-function, wyd. 2. ed., repr, Oxford science publications, Oxford: Clarendon Pr, 2007, ISBN 978-0-19-853369-6 [dostęp 2023-12-11].

Linki zewnętrzne

  • Eric W. Weisstein, Möbius Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się