ResponseEve, a responsive template by SiGa

Co z warunkiem istnienia funkcji odwrotnej dla funkcji zapisanej w sposób parametryczny np: X(a,b) = f(a,b) Y(a,b) = g(a,b) Z(a,b) = h(a,b) Jak sprawdzić, czy dana funkcja posiada funkcje odwrotna ?

Pozdrawiam

Wg mnie to wzór: "Zatem funkcja odwrotna ma wzór x = y/2 - 1" powinien wyglądać tak: ${\displaystyle y=x/2-1}$

najłatwiej sprawdzić warunki różnowartościowości i "na".

Jak napisano w dziale Uwaga

W matematyce istnieją dwie konwencje^{[potrzebny przypis]} rozumienia czym jest zbiór ${\displaystyle Y}$ przy zapisie: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$.

Pierwsza z nich zakłada, że w domyśle, zbiór wartości funkcji ${\displaystyle f}$ zawarty jest w zbiorze ${\displaystyle Y}$, druga z nich zakłada, że to właśnie ${\displaystyle Y}$ jest całym zbiorem wartości. Z punktu widzenia definicji funkcji jako trójki uporządkowanej składającej się z dziedziny, przeciwdziedziny i wykresu, funkcje symbole ${\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to [-1,1]}$ oraz ${\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mówią o dwóch różnych funkcjach sinus – w praktyce nie ma to jednak większego znaczenia. W praktyce matematycznej, pierwsza konwencja jest popularniejsza. Jednak poniżej w definicji funkcji odwrotnej zakłada się, że ${\displaystyle Y}$ jest całym zbiorem wartości funkcji ${\displaystyle f}$ (tzn., że ${\displaystyle f}$ jest na zbiór ${\displaystyle Y}$).

Zwracam tu uwagę na jeden znamienity fakt. Warunkiem istnienia funkcji odwrotnej jest bijektywność funkcji właściwej. Uwaga o dwóch konwencjach jest całkowicie niepoprawna, gdyż zapis: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oznacza funkcję ${\displaystyle f\colon x}$ w ELEMENTY ZBIORU ${\displaystyle Y}$ Funkcja jest bijekcją wtw gdy jest inienkcją i surjekcją. Więc samo założenie wymusza ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ surjekcją, więc założenie w dziale "Uwaga" jest błędne. Jako źródło polecam słynną książkę Rasiowej. Dlatego też usuwam wpis, gdyż wprowadza on tylko i wyłącznie zamęt. Gwoli uściślenia jako przykład całkowicie poprawnej funkcji można przytoczyć funkcję stałą f(x)=1 Jak widać funkcja ta nie jest surjekcją, nie jest injekcją. Jest poprawnie zdefiniowaną funkcją w zbiór liczb ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Jednak funkcja odwrotna do danej nie istnieje.
195.150.224.242 (dyskusja) 11:48, 4 lut 2010

UWAGA odnośnie Uwagi odnośnie uwagi:

znamienity ≠ znamienny

CiaPan (dyskusja) 13:25, 23 gru 2014 (CET)[odpowiedz]

W przypadku odwzorowań liniowych ${\displaystyle T,S\in L(X)}$ definicję odwzorowania odwrotnego zapisuje się ${\displaystyle TS=ST=\operatorname {id} _{X}}$.

Przestrzenie skończeniewymiarowe

W skończeniewymiarowych przestrzeniach wektorowych ${\displaystyle TS=\operatorname {id} _{X}}$ pociąga za sobą ${\displaystyle ST=\operatorname {id} _{X}}$. Wśród dowodów są dwa warianty, różniące się tym, czy jest wykorzystywane pojecie śladu.

Krok 1

${\displaystyle TS=\operatorname {id} _{X}\Rightarrow (ST)^{2}=STST=S\operatorname {id} _{X}T=ST}$, czyli ${\displaystyle ST}$ jest rzutem.

Krok 2, wariant 1

Ponieważ ${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {Im} (ST)\leqslant \operatorname {max} \{\operatorname {dim} \operatorname {Im} (S);\operatorname {dim} \operatorname {Im} (T)\}}$ i ${\displaystyle \operatorname {Im} (ST)=X}$, więc ${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {Im} (S)=\operatorname {dim} \operatorname {Im} (T)=\operatorname {dim} X}$, czyli ${\displaystyle \operatorname {Im} (S)=\operatorname {Im} (T)=X}$, Oznacza to, że ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle T}$ są różnowartościowe, a co za tym idzie ${\displaystyle ST}$ jest różnowartościowym rzutem. Jedynym takim rzutem jest ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$.

Krok 2, wariant 2

Znaczy to, że istnieje baza, w której macierz operatora ${\displaystyle ST}$ ma na przekątnej tylko zera i jedynki. ${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Ran} (ST)=\operatorname {Tr} (ST)=\operatorname {Tr} (TS)=\operatorname {dim} X}$ (wymiar obrazu ${\displaystyle ST}$ jest równy wymiarowi całej przestrzeni), a to oznacza, że ${\displaystyle ST=\operatorname {id} _{X}}$.

Wariant pierwszy podał w mailu dr hab. Piotr Sołatn z Wydziału Matematyki i Informatyki UW, autor skryptu Algebra II – Wykład 1 do którego prowadził martwy w chwili obecnie link w przypisie i tą wersję uznał za lepszą od poprzedniej i zalecaną, bo nie odwołuje się ona do pojęcia śladu (to pojęcie wymaga dodatkowych założeń o charakterystyce ciała, nad którym jest rozpięta przestrzeń). Dodatkowa zaleta tego dowodu polega na tym, że nie odwołuje się on bezpośrednio do żadnych pojęć z rachunku macierzowego. --Wojciech Słota (dyskusja) 23:35, 14 gru 2014 (CET)[odpowiedz]

Przestrzenie nieskończeniewymiarowe

Twierdzenie to nie jest prawdziwe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych w przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomianach:

${\displaystyle T(x^{n})=nx^{n-1}}$ (różniczkowanie)

${\displaystyle S(x^{n})={\frac {x^{n+1}}{n+1}}}$ (całkowanie ze stałą 0)

${\displaystyle TS=\operatorname {id} _{X}}$, ale ${\displaystyle ST}$ zeruje wielomiany stałe.

Można to też wyjaśnić, traktując ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle T}$ jak zwykłe funkcje. Nie są one bijekcjami z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle X}$, gdyż ${\displaystyle S}$ nie jest funkcją "na", zaś ${\displaystyle T}$ nie jest funkcją różnowartościową. Są one za to bijekcjami odpowiednio z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y}$ i z ${\displaystyle Y}$ do ${\displaystyle X}$, gdzie ${\displaystyle Y}$ jest podprzestrzenią (a wiec i podzbiorem) wielomianów bez wyrazu stałego, i z takimi dziedzinami i przeciwdziedzinami są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Są też wzajemnie odwrotne jako odwzorowania liniowe należące do odpowiednio ${\displaystyle L(X,Y)}$ i ${\displaystyle L(Y,X)}$. Podobnie ${\displaystyle \sin }$ jako funkcja z ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w ${\displaystyle [-1,1]}$ i ${\displaystyle \arcsin }$ jako funkcja z ${\displaystyle [-1,1]}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nie są funkcjami odwrotnymi, ale są funkcjami odwrotnymi jako funkcje z ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ w ${\displaystyle [-1,1]}$ i z ${\displaystyle [-1,1]}$ w ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$.

Podobnie w przestrzeniach skończeniewymiarowych nie istnieją operatory takie, że ${\displaystyle ST-TS=\operatorname {id} _{X}}$, ale własność tę mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez ${\displaystyle x}$.

Zapisuję wersję ze starym i nowym wariantem dowodu, i z podkreśleniem, że odwzorowanie liniowe odwrotne to szczególny przypadek funkcji odwrotnej (w tym bez zmiany, którą sam wprowadziłem na prośbę, nie pamiętając, dlaczego wcześniej nie pisałem o osobnej definicji). Problem w tym, że dodatkowe uwagi nie mają źródeł, więc powiszą tutaj, aż jakieś znajdę. BartekChom (dyskusja) 17:58, 14 gru 2014 (CET)[odpowiedz]