Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

Dwójkowy system liczbowy lub też system binarny (NKB – naturalny kod binarny) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2, a do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Historia

Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b[1]. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz[2], autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l’Arithmétique Binaire.

Zastosowanie

Jest używany w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych[2].

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks, np.

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:

ułamek zwykły:

(nawiasem oznaczono okres ułamka).

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:

Pierwsze dziesięć liczb w systemie dwójkowym
w systemie
dziesiętnym
w systemie
dwójkowym
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010

Zamiany systemu

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:


Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji – na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8 itd.

Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:

reszty 0 – 0 to cyfra jedności,
reszty 1 – 1 to cyfra drugiego rzędu,
reszty 1,
reszty 1,
reszty 1.

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc

Działania na liczbach w systemie dwójkowym

 Zobacz też: arytmetyka modularna.

Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:

Przykład dodawania w systemie dwójkowym.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010

Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

                    11101
               -    10110
                    00111

(zera z lewej strony można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.

Zobacz też

Pochodne kodowania liczb całkowitych:

Przypisy

  1. Human choice and computers, 2002, ISBN 1-4020-7185-X.
  2. a b Edward Kofler, Z dziejów matematyki, Warszawa: Wiedza Powszechna, 1956, s. 27.

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Sklep internetowy ts2 space internet via satellite ts2 satellite claims to be legal

Podziel się