Czworościan foremny Przykładowe siatki czworościanu foremnego Kostka do gry w kształcie czworościanu (stosowana m.in. w grach fabularnych ) Siatka czworościanu foremnego z zakładkami umożliwiającymi sklejenie Czworościan foremny a. tetraedr (z gr. )[1] czworościan , którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi . Jeden z pięciu wielościanów foremnych . Ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki . Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu . Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu mają postać (1, 1, 1), (−1, −1, 1), (−1, 1, −1) i (1, −1, −1).
Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula , a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny .
Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni[a] wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty .
Wzory i własności W poniższych wzorach
a
{\displaystyle a}
Pole powierzchni całkowitej:
S
=
3
a
2
≈
1,732
1
a
2
.
{\displaystyle S={\sqrt {3}}\ a^{2}\approx 1{,}7321\ a^{2}.}
Objętość :
V
=
2
12
a
3
≈
0,117
9
a
3
.
{\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}\ a^{3}\approx 0{,}1179\ a^{3}.}
Wysokość, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:
h
=
a
24
6
=
6
3
a
≈
0,816
5
a
.
{\displaystyle h=a\ {\frac {\sqrt {24}}{6}}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\ a\approx 0{,}8165\ a.}
Miara kąta nachylenia krawędzi do ściany, w której krawędź się nie zawiera:
α
=
arcsin
6
3
≈
54,735
6
∘
.
{\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 54{,}7356^{\circ }.}
Promień kuli opisanej :
R
=
6
4
a
≈
0,612
4
a
.
{\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\ a\approx 0{,}6124\ a.}
Promień kuli wpisanej :
r
=
6
12
a
≈
0,204
1
a
.
{\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\ a\approx 0{,}2041\ a.}
Promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu:
δ
=
2
4
a
≈
0,353
6
a
.
{\displaystyle \delta ={\frac {\sqrt {2}}{4}}\ a\approx 0{,}3536\ a.}
Zależności między promieniami
R
,
r
,
δ
{\displaystyle R,\;r,\;\delta }
R
=
3
⋅
r
,
R
=
3
4
h
,
r
=
1
4
h
{\displaystyle R=3\cdot r,\;R={\tfrac {3}{4}}h,\;r={\tfrac {1}{4}}h}
[b]
δ
=
R
⋅
r
.
{\displaystyle \delta ={\sqrt {R\cdot r}}.}
Miara kąta między ścianami:
β
=
arcsin
8
3
≈
70
,
53
∘
.
{\displaystyle \beta =\arcsin {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }.}
Czworościan foremny ma:
6 płaszczyzn symetrii, każda z nich przechodzi przez jedną z jego krawędzi i środek przeciwległej krawędzi,
3 osie symetrii, każda z nich przechodzi przez środki przeciwległych krawędzi,
4 osie obrotu, każda z nich przechodzi przez wierzchołek czworościanu i środek przeciwległej ściany. Zobacz też
Zobacz multimedia związane z tematem: Czworościan foremny
Uwagi
↑ Arystoteles błędnie sądził, że wystarczą czworościany.↑ Wzory te są 3-wymiarową kontynuacją wzorów dla trójkąta równobocznego, w których promień okręgu opisanego jest
2
/
3
{\displaystyle 2/3}
1
/
3
{\displaystyle 1/3}
sympleksów .
Przypisy Linki zewnętrzne Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Tetrahedron , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) .
