Część wspólna , przekrój , przecięcie , iloczyn mnogościowy [1] zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów .
Definicje Przekrój zbiorów
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Część wspólna zbiorów
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
zbiór , do którego należą te elementy zbioru
A
,
{\displaystyle A,}
B
{\displaystyle B}
[2] [3]
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
∩
B
.
{\displaystyle A\cap B.}
x
∈
(
A
∩
B
)
⇔
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∈
B
)
{\displaystyle x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)}
[2] [4] [5] co jest równoważne zapisowi
A
∩
B
=
{
x
∈
Ω
:
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
{\displaystyle A\cap B=\{x\in \Omega :x\in A\wedge x\in B\}}
[6] [7] gdzie
Ω
{\displaystyle \Omega }
przestrzenią [8] [9] uniwersum [10]
Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
⋂
A
{\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
[11]
x
∈
⋂
A
⇔
(
(
∀
A
∈
A
)
(
x
∈
A
)
)
.
{\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A){\Big )}.}
Można to równoważnie zapisać jako
⋂
A
=
{
x
∈
Ω
:
(
∀
A
∈
A
)
(
x
∈
A
)
}
{\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}=\{x\in \Omega :(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A)\}}
[12] Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów
(
A
i
)
i
∈
I
,
{\displaystyle (A_{i})_{i\in I},}
I
{\displaystyle I}
niepusty , część wspólną definiuje się jako
⋂
i
∈
I
A
i
=
{
a
∈
Ω
:
(
∀
i
∈
I
)
(
a
∈
A
i
)
}
,
{\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega :(\forall i\in I)(a\in A_{i})\},}
co jest równoważne
a
∈
⋂
i
∈
I
A
i
⇔
(
(
∀
i
∈
I
)
(
a
∈
A
i
)
)
{\displaystyle a\in \bigcap _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall i\in I)(a\in A_{i}){\Big )}}
[13] [14] Przykłady Niech
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
liczb naturalnych , a
P
{\displaystyle P}
parzystych liczb całkowitych . Wówczas
N
∩
P
{\displaystyle \mathbb {N} \cap P}
N
∩
P
=
{
n
∈
N
:
2
{\displaystyle \mathbb {N} \cap P=\{n\in \mathbb {N} :2}
dzieli
n
}
.
{\displaystyle n\}.}
(
0
,
1
)
∩
[
1
,
2
]
=
∅
,
{\displaystyle (0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,}
[
0
,
1
]
∩
[
1
,
2
]
=
{
1
}
{\displaystyle [0,1]\cap [1,2]=\{1\}}
⋂
n
∈
N
(
1
−
1
n
+
1
,
1
+
1
n
+
1
)
=
{
1
}
{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(1-{\frac {1}{n+1}},1+{\frac {1}{n+1}}\right)=\{1\}}
Niech
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek
[
2
,
5
)
.
{\displaystyle [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).}
⋂
A
=
[
2
,
5
]
.
{\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].}
Własności Operacje skończone Dla dowolnych zbiorów
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
⋂
{
A
}
=
A
=
A
∩
A
,
{\displaystyle \bigcap \{A\}=A=A\cap A,}
⋂
{
A
,
B
}
=
A
∩
B
,
{\displaystyle \bigcap \{A,B\}=A\cap B,}
(
A
∩
B
)
∩
C
=
A
∩
(
B
∩
C
)
{\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}
[2] łączność ),
A
∩
B
=
B
∩
A
{\displaystyle A\cap B=B\cap A}
[2] przemienność ),
(
A
∩
B
)
∪
C
=
(
A
∪
C
)
∩
(
B
∪
C
)
{\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)}
(
A
∪
B
)
∩
C
=
(
A
∩
C
)
∪
(
B
∩
C
)
{\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)}
[15] rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy , względem drugiego),
C
∖
(
A
∩
B
)
=
(
C
∖
A
)
∪
(
C
∖
B
)
{\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}
C
∖
(
A
∪
B
)
=
(
C
∖
A
)
∩
(
C
∖
B
)
{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}
[16] prawo De Morgana ).Ponadto,
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
A
∩
B
=
A
.
{\displaystyle A\cap B=A.}
Operacje nieskończone Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech
{
A
i
:
i
∈
I
}
,
{\displaystyle \{A_{i}:i\in I\},}
{
B
i
:
i
∈
I
}
{\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}}
{
C
j
,
k
:
j
∈
J
∧
k
∈
K
}
{\displaystyle \{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}}
I
,
J
,
K
{\displaystyle I,J,K}
D
{\displaystyle D}
⋂
i
∈
I
(
A
i
∩
B
i
)
=
⋂
i
∈
I
A
i
∩
⋂
i
∈
I
B
i
{\displaystyle \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap B_{i})=\bigcap _{i\in I}A_{i}\cap \bigcap _{i\in I}B_{i}}
[17]
⋂
i
∈
I
A
i
∪
⋂
i
∈
I
B
i
⊆
⋂
i
∈
I
(
A
i
∪
B
i
)
{\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\cup \bigcap _{i\in I}B_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup B_{i})}
D
∩
⋂
i
∈
I
A
i
=
⋂
i
∈
I
(
A
i
∩
D
)
{\displaystyle D\cap \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap D)}
[18]
D
∪
⋂
i
∈
I
A
i
=
⋂
i
∈
I
(
A
i
∪
D
)
{\displaystyle D\cup \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup D)}
[18]
D
∖
⋂
i
∈
I
A
i
=
⋃
i
∈
I
D
∖
A
i
{\displaystyle D\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}D\setminus A_{i}}
[19]
⋂
j
∈
J
⋂
k
∈
K
C
j
,
k
=
⋂
k
∈
K
⋂
j
∈
J
C
j
,
k
{\displaystyle \bigcap _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{j\in J}C_{j,k}}
⋃
j
∈
J
⋂
k
∈
K
C
j
,
k
⊆
⋂
k
∈
K
⋃
j
∈
J
C
j
,
k
{\displaystyle \bigcup _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}\subseteq \bigcap _{k\in K}\bigcup _{j\in J}C_{j,k}}
Związek z funkcjami Dla dowolnej funkcji
f
:
X
⟶
Y
,
{\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y,}
{
A
i
:
i
∈
I
}
{\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}
podzbiorów zbioru
X
{\displaystyle X}
{
B
j
:
j
∈
J
}
{\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}
Y
,
{\displaystyle Y,}
f
−
1
[
⋂
j
∈
J
B
j
]
=
⋂
j
∈
J
f
−
1
[
B
j
]
{\displaystyle f^{-1}[\bigcap _{j\in J}B_{j}]=\bigcap _{j\in J}f^{-1}[B_{j}]}
[20] przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
f
[
⋂
i
∈
I
A
i
]
⊆
⋂
i
∈
I
f
[
A
i
]
{\displaystyle f[\bigcap _{i\in I}A_{i}]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]}
[21] obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).W zbiorze potęgowym Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego
U
{\displaystyle U}
uniwersum ) oraz
P
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {U} )}
zbiorem potęgowym , zbioru
U
,
{\displaystyle U,}
(
P
(
U
)
,
∪
,
∩
,
∖
,
∅
,
U
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )}
jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a ). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór
U
{\displaystyle U}
elementem neutralnym operacji części wspólnej
∩
.
{\displaystyle \cap .}
Zapis
⋂
A
,
{\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}},}
gdy
A
=
∅
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
[22]
Zobacz też
Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Liczby i ich zbiory
Przypisy
↑ iloczyn zbiorów , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-09-06] .↑ a b c d Rasiowa 1975 ↓
↑ Kuratowski 1980 ↓
↑ Kuratowski 1980 ↓
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓
↑ Leitner 1999 ↓
↑ Ross i Wright 1996 ↓
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ Ross i Wright 1996 ↓
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ Kuratowski 1980 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ a b Rasiowa 1975 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ Rasiowa 1975 ↓
↑ Guzicki i Zakrzewski 2005 ↓
Bibliografia Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7 . Kazimierz Kuratowski , Andrzej Mostowski : Teoria mnogości . Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].Kazimierz Kuratowski : Wstęp do teorii mnogości i topologii . Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna , t. 9. ISBN 83-01-01372-9 .Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów . Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3 . Helena Rasiowa : Wstęp do matematyki współczesnej . Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna , t. 30. OCLC 749626864.Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna . E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN , 1996. ISBN 83-01-12129-7 . 
![{\displaystyle (0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8b29dfe4dd73ee2cab5d7827faf9a1392c3fe8)
![{\displaystyle [0,1]\cap [1,2]=\{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155b1a2fa30eba1fa952bfcb53b8c1035bf94855)
![{\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeba09a5d5b1a1e8d75518272cdfad5cd3dc5e02)
![{\displaystyle f^{-1}[\bigcap _{j\in J}B_{j}]=\bigcap _{j\in J}f^{-1}[B_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af4b0b06b2f50c4f39a680d9e7d2e05f55412d4)
![{\displaystyle f[\bigcap _{i\in I}A_{i}]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ab1bd0d4169a198afa5e01304929e9c3e9e467)
