Ciało (formalnie) rzeczywisteciało w którym zachodzi

czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero.

Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności:

  • nie jest sumą kwadratów w
  • ciało może być liniowo uporządkowane.

Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym.

Ciało rzeczywiście domknięte to ciało spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków:

  1. jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym.
  2. Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w
  3. Istnieje porządek liniowy taki, że jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w
  4. Element nie jest kwadratem w a ciało jest algebraicznie domknięte.

Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926–1927, dowodząc między innymi, że:

  1. Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym).
  2. Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek.
  3. Jeśli ciało algebraicznie domknięte jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała to ciało jest rzeczywiście domknięte i

Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. problemu Hilberta.


Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się