Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera
Analiza harmoniczna , analiza fourierowska – dział analizy matematycznej badający szeregi Fouriera i transformacje Fouriera [1] .
Dział ten powstał w XIX wieku przy badaniu równań różniczkowych cząstkowych i od tego czasu skorzystał z osiągnięć innych działów matematyki jak rygorystyczna analiza rzeczywista czy analiza funkcjonalna . Ta pierwsza wypracowała warunki Dirichleta możliwości analizowania funkcji w ten sposób, a ta druga zmieniła perspektywę na szeregi i transformacje Fouriera. Są one rozkładem wektorów w bazie przestrzeni Hilberta za pomocą iloczynu skalarnego .
W XX wieku poczyniono w tej dziedzinie znaczące postępy, m.in. opracowano algorytm szybkiej transformacji Fouriera , poszerzono zakres i metody badań dzięki teorii dystrybucji oraz znaleziono zastosowania w teorii liczb [potrzebny przypis ] .
Analiza fourierowska to jeden z fundamentów fizyki matematycznej , nie tylko jako narzędzie rozwiązywania jej równań. Jest podstawą analizy drgań i fal w mechanice , optyce i ogólnej teorii względności oraz stanowi fundament fizyki kwantowej , zwłaszcza obrazu Schrödingera . Zasada nieoznaczoności Heisenberga wynika z falowej natury ciał oraz twierdzeń analizy harmonicznej.
Analiza ta prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych (harmonik ), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:
y
t
=
α
0
+
∑
t
=
1
n
2
{
α
i
⋅
sin
(
2
⋅
π
n
⋅
i
⋅
t
)
+
β
i
⋅
cos
(
2
⋅
π
n
⋅
i
⋅
t
)
}
,
{\displaystyle y_{t}=\alpha _{0}+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}
gdzie:
α
0
,
α
1
,
β
1
{\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{1}}
– parametry modelu.
W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje natomiast postać
y
t
=
f
(
t
)
+
∑
t
=
1
n
2
{
α
i
⋅
sin
(
2
⋅
π
n
⋅
i
⋅
t
)
+
β
i
⋅
cos
(
2
⋅
π
n
⋅
i
⋅
t
)
}
,
{\displaystyle y_{t}=f(t)+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}
zaś parametry modelu wynoszą:
a
0
=
1
n
⋅
∑
t
=
1
n
y
t
,
{\displaystyle a_{0}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt,}
a
i
=
2
n
⋅
∑
t
=
1
n
y
t
⋅
sin
(
2
⋅
π
n
⋅
i
⋅
t
)
{\displaystyle a_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}}
dla
i
=
1
,
2
,
…
,
n
2
−
1
,
{\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1,}
b
i
=
2
n
⋅
∑
t
=
1
n
y
t
⋅
sin
(
2
⋅
π
n
⋅
i
⋅
t
)
{\displaystyle b_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}}
dla
i
=
1
,
2
,
…
,
n
2
−
1.
{\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1.}
Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej natomiast:
a
n
2
=
0
,
{\displaystyle a_{\frac {n}{2}}=0,}
b
n
2
=
1
n
⋅
∑
i
=
1
n
y
t
⋅
cos
(
π
⋅
t
)
{\displaystyle b_{\frac {n}{2}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}yt\cdot \cos(\pi \cdot t)}
[2] .
Zobacz też
Przypisy
↑ Analiza harmoniczna , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-15] .
↑ Statystyka od A do Z portal edukacyjny poświęcony statystyce [online], www.statystyka.az.pl [dostęp 2018-01-04] .
Linki zewnętrzne
Harmonic analysis (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
podstawowe
zaawansowane
powiązane dyscypliny