Algorytm faktoryzacji Rho Pollardaalgorytm rozkładu liczb na czynniki pierwsze, opracowany przez Johna Pollarda w 1975 roku. Jest szczególnie efektywny przy rozkładaniu liczb mających niewielkie dzielniki. Dla liczb będących iloczynem dwóch liczb pierwszych tej samej długości, jego złożoność jest rzędu .

Algorytm ten stał się sławny, gdy użyto go do faktoryzacji ósmej liczby Fermata. Pełna faktoryzacja F8 zajęła 2 godziny pracy komputera UNIVAC 1110.

Idea

Algorytm wykorzystuje paradoks dnia urodzin, mówiący, że aby znaleźć z prawdopodobieństwem większym niż ½ dwie liczby i przystające modulo wystarczy wylosować mniej więcej liczb. Jeśli jest szukanym dzielnikiem to , gdyż zarówno jak i dzielą się przez Wystarczy zatem losować kolejne liczby i sprawdzać, czy któraś różnica ma nietrywialne wspólne dzielniki z

Zamiast zapamiętywać wszystkie wylosowane liczby i sprawdzać każdą parę, algorytm wykorzystuje metodę znajdowania cyklu funkcji. Jakaś pseudolosowa funkcja modulo jest wybierana jako generator dla dwóch sekwencji. Jedna sekwencja wykonuje dwie iteracje, w czasie gdy druga wykonuje jedną. Niech oznacza aktualną wartość w pierwszej sekwencji, a w drugiej. W każdym kroku wyliczany jest Jeśli wynik jest w którymś momencie równy algorytm kończy się błędem, gdyż wtedy i dalsze działanie będzie już tylko powtarzaniem dotychczasowych obliczeń. Jeśli w którymkolwiek momencie wynik jest większy od 1 i mniejszy od jest on dzielnikiem

Jeśli patrzymy na sekwencję modulo szukany dzielnik jej wartości muszą w końcu utworzyć cykl, o długości rzędu Diagram takiej sekwencji jest przedstawiony na rysunku – przypomina grecką małą literę (pol. ro), stąd nazwa algorytmu.

Algorytm

Wejście: – liczba, którą próbujemy rozłożyć; – pseudolosowa funkcja modulo

Wyjście: nietrywialny czynnik albo błąd.

x ← 2, y ← 2; d ← 1
Dopóki d = 1:
    xf(x)
    yf(f(y))
    d ← NWD(|xy|, n)
    Jeśli 1 < d < n, to zwróć d.
    Jeśli d = n, to zasygnalizuj porażkę.

Warto zauważyć, że algorytm zawsze kończy się błędem dla będącego liczbą pierwszą, ale może też zwrócić błąd dla złożonego. Dlatego po błędzie można spróbować ponownie, z inną funkcją

Aby algorytm był efektywny, zwykle używa się szybko wyliczalnych funkcji np. wielomianów ze współczynnikami całkowitymi. Najczęściej mają one postać:

Bibliografia

  • Richard P. Brent. An Improved Monte Carlo Factorization Algorithm. „BIT”. 20, s. 176–184, 1980. (ang.). 
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Wprowadzenie do Algorytmów.

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się