Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci

gdzie:

  • – pewien zbiór,
  • – pewne wyróżnione elementy,
  • – pewne funkcje, które interpretuje się jako -argumentowe działania w

Przykładami algebr są grupa addytywna

grupa multiplikatywna

oraz pierścień

Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne[3].

Definicja

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci[4]:

gdzie:

jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),
są pewnymi elementami zbioru (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
są działaniami określonymi w zbiorze przy czym jest działaniem -argumentowym, tzn. jest funkcją postaci oraz

Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.

Algebry podobne

Dwie algebry:

i

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli oraz oraz dla każdego działania oraz są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. oraz [4].

Działania zgodne z relacją równoważności

 Główny artykuł: Zgodność relacji z działaniem.

Niech będzie relacją równoważności w zbiorze -argumentowe działanie w nazywa się zgodnym z relacją jeśli dla każdych

[4].

W szczególności gdy jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych

a gdy jest działaniem dwuargumentowym, to

Innymi słowy działanie w zbiorze jest zgodne z relacją jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.

Kongruencje

Relację równoważności w algebrze nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego działanie jest zgodne z relacją [4].

Algebra ilorazowa

 Zobacz też: Zbiór ilorazowy.

Dysponując kongruencją na algebrze można skonstruować algebrę podobną do Niech będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę definiujemy jako

gdzie elementy wyróżnione są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów względem relacji tzn.

a działania są zdefiniowane wzorami[4]:

Aby działania były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych

co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja była kongruencją.

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr podobnych i nazywa się funkcję taką, że

dla W szczególności, gdy są działaniami dwuargumentowymi oznacza to

Alternatywne definicje algebry

 Zobacz też: Algebra uniwersalna.

W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym są symbolami działań -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi -argumentowego działania Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole z działaniami

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę gdzie jest zbiorem, a nazywa się typem algebry. Parę nazywa się algebrą typu jeśli zbiory i są równoliczne i każdemu odpowiada taki, że Element nazywa się działaniem lub operacją -argumentową.

Przykłady

Półgrupa

Algebrę nazywa się półgrupą jeśli działanie jest łączne, tzn. dla każdych

Grupa

Algebrę nazywa się grupą jeśli jest półgrupą oraz ponadto

  • Dla każdego zachodzi
  • Dla każdego istnieje takie, że

Element nazywa się elementem neutralnym działania a elementem odwrotnym do lub elementem przeciwnym do i oznacza odpowiednio lub

Grupa abelowa

Grupę w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych zachodzi

nazywa się grupą przemienną lub abelową.

Grupa addytywna i multiplikatywna

Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się i nazywa grupą multiplikatywną.

Pierścień (łączny)

Algebrę nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli

  • jest grupą przemienną,
  • jest półgrupą,

ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych

Zobacz też

Przypisy

  1. А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
  3. Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  4. a b c d e Guzicki i Zakrzewski 2012 ↓.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać General algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się